2.4 순환소수의 사칙연산 · Ⅰ-2. 순환소수와 유리수

HOOK

$0.\dot{3} + 0.\dot{6} = ?$

두 순환소수의 합. 직접 더하려고 하면 $0.333\ldots + 0.666\ldots = 0.999\ldots$. 그런데 $0.\dot{9} = 1$이라고 했습니다 (2.1). 그렇다면 답은 $1$? 직관에 어긋나 보이지만 — 분수로 보면 명확해집니다. $\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3} = 1$. ✓

순환소수의 사칙연산은 직접 다루기 어렵습니다. 자릿수가 정해지지 않아 끝이 보이지 않기 때문. 그러나 분수로 바꾸면 모든 것이 단순한 분수 연산으로 풀립니다.

"순환소수를 만나면 — 일단 분수로. 그리고 분수 연산. 다시 소수로 (필요하면)."

CORE STRATEGY

분수 다리를 건너자

THE STRATEGY

순환소수 → 분수 → 사칙연산 → (필요하면) 다시 소수로

순환소수끼리 직접 계산하지 않는다.

순환소수 입력

→

분수로 변환
(공식)

→

분수 연산
(+ − × ÷)

분수 결과

→

소수 표현
(약분 후)

CORE RULE

사칙연산: 순환소수를 분수로 변환한 후, 분수의 사칙연산 규칙을 적용한다.

덧셈/뺄셈: 분모를 통분한 후 분자끼리
곱셈: 분자끼리, 분모끼리
나눗셈: 나누는 수의 역수를 곱하기

CASES

사칙연산 네 가지

덧셈 · 뺄셈

$0.\dot{3} + 0.\dot{2}$

$= \dfrac{3}{9} + \dfrac{2}{9}$
$= \dfrac{5}{9}$

$= 0.\dot{5}$

$0.\dot{3} + 0.\dot{6}$

$= \dfrac{3}{9} + \dfrac{6}{9}$
$= \dfrac{9}{9} = 1$

$= 1$

$0.\dot{8} - 0.\dot{3}$

$= \dfrac{8}{9} - \dfrac{3}{9}$
$= \dfrac{5}{9}$

$= 0.\dot{5}$

$0.\dot{1}\dot{2} + 0.\dot{1}\dot{2}$

$= \dfrac{12}{99} + \dfrac{12}{99}$
$= \dfrac{24}{99} = \dfrac{8}{33}$

$= 0.\dot{2}\dot{4}$

곱셈 · 나눗셈

$0.\dot{1} \times 3$

$= \dfrac{1}{9} \times 3$
$= \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$

$= 0.\dot{3}$

$0.5 \times 0.\dot{6}$

$= \dfrac{1}{2} \times \dfrac{6}{9}$
$= \dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}$

$= 0.\dot{3}$

$0.\dot{4} \div 0.\dot{6}$

$= \dfrac{4}{9} \div \dfrac{6}{9}$
$= \dfrac{4}{9} \times \dfrac{9}{6} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$

$= 0.\dot{6}$

$0.\dot{8} \div 2$

$= \dfrac{8}{9} \div 2$
$= \dfrac{8}{9} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{9}$

$= 0.\dot{4}$

⚠ 결과가 항상 순환소수일까?

아니요. 유리수끼리의 연산 결과는 유리수이지만, 그것이 유한소수가 될지 순환소수가 될지는 결과 분수의 분모에 따라 결정됩니다 — 분모의 소인수가 $2$와 $5$만 → 유한, 다른 소인수 있음 → 순환.

예: $0.\dot{3} + 0.\dot{6} = 1$ (정수 — 유한소수의 특수한 경우).

INTERACTIVE

순환소수 계산기

두 분수(또는 그것으로 변환된 순환소수)를 입력하고 연산을 선택하면 결과를 분수와 소수로 보여 줍니다.

REPEATING DECIMAL CALCULATOR

분자 a

분자 b

분모 a

분모 b

RESULT

$\dfrac{5}{9}$

3/9 + 2/9 = 5/9 = 0.5̇

QUICK CHECK · 5문항

개념을 점검해 봅시다

Q-01

선택형

$0.\dot{3} + 0.\dot{2}$의 값은?

Q-02

수치 입력

$0.\dot{1} \times 5$를 분수 $\dfrac{a}{9}$로 나타낼 때 $a$의 값은?

Q-03

수치 입력

$0.\dot{6} - 0.\dot{2}$를 기약분수 $\dfrac{a}{9}$로 나타낼 때 $a$의 값은?

Q-04

선택형

$0.\dot{3} + 0.\dot{6}$의 값은?

Q-05

수치 입력

$0.\dot{8} \div 2$를 기약분수 $\dfrac{a}{9}$로 나타낼 때 $a$의 값은?

WORKED EXAMPLES · 2문항

예제로 익혀 보자

EXAMPLE 01

$0.\dot{1}\dot{2} \times 3$을 기약분수로 나타내시오.

$0.\dot{1}\dot{2} = \dfrac{12}{99} = \dfrac{4}{33}$ (약분).

$\dfrac{4}{33} \times 3 = \dfrac{12}{33} = \dfrac{4}{11}$.

검산: $\dfrac{4}{11} = 0.\dot{3}\dot{6}$ (1/11 = 0.0̇9̇이므로 4/11 = 0.3̇6̇).

▶ $\dfrac{4}{11}$ (또는 $0.\dot{3}\dot{6}$)

EXAMPLE 02

어떤 수 $x$에 $0.\dot{1}\dot{2}$를 곱했더니 $0.\dot{2}\dot{4}$가 되었다. $x$의 값은?

$x \times \dfrac{12}{99} = \dfrac{24}{99}$

$x = \dfrac{24/99}{12/99} = \dfrac{24}{12} = 2$.

▶ $x = 2$

PRACTICE · 8문항

스스로 연습해 보자

P-01 ★

수치 입력

$0.\dot{4} + 0.\dot{5}$의 값을 정수로 나타내면?

P-02 ★

수치 입력

$0.\dot{1} \times 5$를 기약분수로 나타내면 $\dfrac{a}{9}$이다. $a$는?

P-03 ★

수치 입력

$0.\dot{8} \div 2$를 기약분수로 나타내면 $\dfrac{a}{9}$이다. $a$는?

P-04 ★★

수치 입력

$0.\dot{4}\dot{5} \times 2$를 기약분수로 나타내면 $\dfrac{a}{11}$이다. $a$는?

P-05 ★★

수치 입력

$0.\dot{1}\dot{2} + 0.\dot{3}\dot{0}$을 기약분수로 나타내면 $\dfrac{a}{33}$이다. $a$의 값은?

P-06 ★★

수치 입력

$0.5 \times 0.\dot{6}$을 기약분수로 나타내면 $\dfrac{a}{3}$이다. $a$는?

P-07 ★★★

수치 입력

어떤 수 $x$에 $0.\dot{1}\dot{2}$를 곱하면 $0.\dot{2}\dot{4}$이다. $x$는?

P-08 ★★★

수치 입력

$0.\dot{4} \div 0.\dot{6}$을 기약분수 $\dfrac{a}{b}$로 나타낼 때 $a + b$의 값은?

WRAP-UP

2.4 순환소수의 사칙연산 — 핵심 정리

순환소수끼리 직접 계산하지 않고 반드시 분수로 변환한 뒤 사칙연산. 결과는 분수로, 필요하면 다시 소수로.

POINT 1

전략: 순환소수 → 분수 → 연산 → (필요하면) 소수

POINT 2

덧셈·뺄셈: 통분 후 분자끼리

POINT 3

곱셈·나눗셈: 분자·분모 / 역수

POINT 4

유리수끼리의 연산 결과 = 유리수 (유한 또는 순환)